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Terminale Maths Exp Page 180 · n°57

N°57 Page 180

Bézout & Gauss

Énoncé Énoncé

$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel.
On note $\textcolor{#caa7ff}{a = 13n + 3}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b = 8n + 2}$.
On donne les résulats de $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b)}$ pour les premières valeurs de $\textcolor{#caa7ff}{n}$:

a) Conjecturer une condition sur $\textcolor{#caa7ff}{n}$ pour que $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ soient premiers entre eux.
b) Démontrer la conjecture émise au a).
c) En déduire les valeurs de $\textcolor{#caa7ff}{n}$ pour lesquelles la fraction $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{13n + 3}{8n + 2}}$ est irréductible.

Solution Révéler quand vous êtes prêt

a) Conjecture :
$$\textcolor{#caa7ff}{
a \text{ et } b \text{ premiers entre eux } \iff n \text{ pair}
}$$

b)
$$\textcolor{#caa7ff}{
13b - 8a
= 13(8n + 2) - 8(13n + 3)
= 104n + 26 - 104n - 24
= 2
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{2}$ est alors une combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$, donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
D(a;b) \subset D(2)
}$$

Or $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b) \in D(a;b)}$, donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a;b) \in D(2)
}$$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{n}$ pair :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n \equiv 0 \pmod{2}
\iff
13n \equiv 0 \pmod{2}
\iff
13n + 3 \equiv 3 \pmod{2}
\iff
a \equiv 1 \pmod{2}
}$$

On a alors $\textcolor{#caa7ff}{2 \notin D(a)}$ et donc $\textcolor{#caa7ff}{2 \notin D(a;b)}$.
Le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(a;b)}$ est alors nécessairement $\textcolor{#caa7ff}{1}$ et :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a;b) = 1
}$$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{n}$ impair :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n \equiv 1 \pmod{2}
\iff
13n \equiv 13 \pmod{2}
\iff
13n + 3 \equiv 16 \pmod{2}
\iff
a \equiv 0 \pmod{2}
\newline
\text{et}
\newline
n \equiv 1 \pmod{2}
\iff
8n \equiv 8 \pmod{2}
\iff
8n + 2 \equiv 10 \pmod{2}
\iff
b \equiv 0 \pmod{2}
}$$

On a alors $\textcolor{#caa7ff}{2 \in D(a;b)}$.
Le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(a;b)}$ est alors nécessairement $\textcolor{#caa7ff}{2}$ et :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a;b) = 2
}$$

Conclusion :

$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a;b) =
\begin{cases}
1 & \text{si } n \text{ est pair} \newline
2 & \text{si } n \text{ est impair}
\end{cases}
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
a \text{ et } b \text{ premiers entre eux } \iff n \text{ pair}
}
}$$

c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{13n + 3}{8n + 2} \text{ irréductible} \iff (13n+3) \text{ et } (8n+2) \text{ premiers entre eux } \iff a \text{ et } b \text{ premiers entre eux } \iff \boxed{n \text{ pair}}
}$$